Powrót do szkoły. Dodawanie korzeni

W dzisiejszych czasach nowoczesny elektronicznymaszyny obliczeniowe, obliczanie pierwiastka liczby nie jest trudnym zadaniem. Na przykład √2704 = 52, zostanie obliczone przez dowolny kalkulator. Na szczęście kalkulator działa nie tylko w systemie Windows, ale także w zwykłym, nawet najprostszym telefonie. To prawda, jeśli nagle (z niewielkim prawdopodobieństwem, którego obliczenia, nawiasem mówiąc, obejmuje dodanie korzeni), znajdziesz się bez dostępnych środków, to, niestety, będziesz musiał polegać tylko na swoich mózgach.

Trening umysłu nigdy nie stawia. Zwłaszcza dla tych, którzy nie często pracują z liczbami, a jeszcze bardziej z korzeniami. Dodawanie i odejmowanie korzeni to dobry trening dla znudzonego umysłu. I pokażę korzenie w etapach. Przykłady wyrażeń mogą być następujące.

Równanie, które należy uprościć:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

To jest irracjonalne wyrażenie. Aby to uprościć, musisz wprowadzić wszystkie radykalne wyrażenia do ogólnej postaci. Robimy etapy:

Pierwsza liczba nie może być uproszczona. Przejdź do drugiego terminu.

3√48 rozkładają 48 na czynniki: 48 = 2 × 24 lub 48 = 3 × 16. Pierwiastek kwadratowy z 24 nie jest liczbą całkowitą, tj. ma pozostałość ułamkową. Ponieważ potrzebujemy dokładnej wartości, przybliżone korzenie nie odpowiadają nam. Pierwiastek kwadratowy z 16 wynosi 4, wyjmij go spod znaku głównego. Otrzymujemy: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Poniższe wyrażenie jest negatywne,tj. napisane ze znakiem minus -4 × √ (27.) Rozkładamy 27 na czynniki. Otrzymujemy 27 = 3 × 9. Nie używamy współczynników ułamkowych, ponieważ trudniej jest obliczyć pierwiastek kwadratowy z ułamków. Wyciągamy 9 ze znaku, tj. obliczyć pierwiastek kwadratowy. Otrzymujemy następujące wyrażenie: -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Następujący termin, √128, oblicza część, którą można usunąć spod korzenia. 128 = 64 × 2, gdzie √64 = 8. Jeśli okaże się to łatwiejsze, możesz sobie wyobrazić to wyrażenie w następujący sposób: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Przepisujemy wyrażenie z uproszczonymi terminami:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Teraz dodajemy liczby o tym samym radykalnym wyrażeniu. Nie można dodawać ani odejmować wyrażeń za pomocą różnych wyrażeń. Dodawanie źródeł głównych wymaga przestrzegania tej reguły.

Odpowiedź brzmi:

√2 + 12√3-12√3 + 8√2 = 9√2

√2 = 1 × √2 - Mam nadzieję, że zwyczajowo w algebrze pominięcie takich elementów nie stanie się dla ciebie wiadomością.

Wyrażenia mogą być reprezentowane nie tylko przez pierwiastek kwadratowy, ale także przez sześcienny lub n-ty root.

Dodawanie i odejmowanie korzeni o różnych wykładnikach, ale o równoważnym wyglądzie root, jest następujące:

Jeśli mamy wyrażenie formy √a + ∛b + ∜b, możemy uprościć to wyrażenie w następujący sposób:

∛b + ∜b = 12 × √b4 + 12 × √b3

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Poprowadziliśmy dwóch podobnych członków do wspólnego wskaźnika.root. Tutaj użyto własności korzeni, która mówi: jeśli liczba stopnia radicand i liczba indeksu głównego zostanie pomnożona przez tę samą liczbę, to jej obliczenia pozostaną niezmienione.

Notatka: wykładniki są dodawane tylko podczas mnożenia.

Rozważmy przykład, gdy ułamki występują w wyrażeniu.

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Będziemy rozwiązywać etapy:

5√8 = 5 * 2√2 - usuwamy wyekstrahowaną część spod korzenia.

- 4√ (1/4) = - 4 √1 / (√4) = - 4 * 1/2 = - 2

Jeśli treść korzenia jest reprezentowana przez ułamek, to często ten ułamek nie zmienia się, jeśli bierzesz pierwiastek kwadratowy z dywidendy i dzielnika. W rezultacie uzyskaliśmy równość opisaną powyżej.

√72-4√2 = √ (36 × 2) - 4√2 = 2√2

10√2 + 2√2-2 = 12√2-2

Oto odpowiedź.

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że root z równym wykładnikiem nie jest wyodrębniany z liczb ujemnych. Jeśli równy stopień ekspresji radykalnej jest ujemny, to wyrażenie jest nierozwiązywalne.

Dodawanie korzeni jest możliwe tylko wtedy, gdy podobne wyrażenia są zbieżne, ponieważ są one podobnymi składnikami. To samo dotyczy różnicy.

Dodawanie korzeni o różnych wskaźnikach numerycznychstopnie są produkowane poprzez zmniejszenie całkowitego poziomu root dla obu terminów. Prawo to działa również jako redukcja do wspólnego mianownika przy dodawaniu lub odejmowaniu frakcji.

Jeśli istnieje liczba podniesiona do potęgi w wyrażeniu radykalnym, to to wyrażenie można uprościć, pod warunkiem, że istnieje wspólny mianownik między korzeniem a indeksem mocy.